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2019考研數學:暑期需要建構“知識——題型”網絡

2018年07月17日 來源:萬學海文

暑期是考研學子提高自己的最關鍵時段,經過了一輪基礎階段的復習,考生已經初步了解并熟悉了考研數學的基本概念、基礎理論、基本方法,暑期階段則要歸納題型,總結解題方法,在頭腦里構建一個“知識——題型”的網絡表,盡量做到,一提某個知識點,立即反映出該知識點可能出什么題,怎么考察,又該怎么解決,有哪些誤區和細節需要注意;一提某類題,立即想到需要哪些知識點解決它,我又沒有掌握這些必須的基礎方法。

舉例而言,極限一節,基礎階段,我們沿著知識脈絡,依次回顧概念、性質、四則運算法則、兩個存在準則、兩個重要極限、無窮小的概念比階與等價無窮小代換,這里面,哪些能應用于求極限(比如無窮小代換),哪些是證明極限存在的(單調有界準則),那些用于函數極限計算,哪些用于數列極限計算,大家有所接觸但還朦朦朧朧,缺少系統總結。更別說,導數定義求極限和利用定積分定義求極限——這是一元函數微分學和一元函數積分學部分才能接觸到的,第一輪復習時,一般都會放到后續章節而非第一章介紹。這樣,其實大家對求極限的方法,是支離破碎不成體系的,這是第一輪僅僅沿著知識脈絡學習的不可克服的結果。

而到了強化階段,你必須做到,一見到求極限的題目立即反映出如下方法:

函數極限:1)等價無窮小代換;2)羅比達法則;3)泰勒公式法;4)利用導數定義;5)兩個重要極限(1∞型的公式)

數列極限:6)單調有界準則(證明極限存在性);7)夾逼準則;8)定積分定義;9)把數列極限轉化為函數極限

整個考研數學可能用到的解決極限問題的方法,清晰地總結在一起。

有了框架,往里面填充各種細節,比如羅比達法則,什么時候能用,什么時候不能用;比如泰勒公式,展開時展到幾階,常用的泰勒公式有哪些,自己是否把該記住的公式記住了,該注意的細節透徹了。

學數學一要刷題,二要總結,盲目刷題,事倍功半,要在做題中體會解題技巧與方法,歸納總結。

上面說的,是一類題目可能對應多出知識,那么,也可能出現一個知識點,用在不同題目里,就像上面提到的泰勒公式,除了用于求極限,還有什么地方有可能考到泰勒公式?無非就是中值定理證明題可能用到,函數展為冪級數(數一)用到,利用泰勒級數求高階導用到。在可能考察到該知識點的各類題型中,定理、概念、方法怎么用,怎么去解決問題,要認真總結,比如泰勒公式有帶皮亞諾余項的公式,也有帶拉格朗日余項的,求極限時顯然用前者,中值定理證明題當然用后者,求極限時展到幾階,中值定理證明題什么時候選用泰勒公式而不選用其他中值定理(比如拉格朗日定理)——你會發現,一個點延展開,會與其他好多知識、題型交叉,在你心里,應該是一張清晰的“知識——題型”網絡。

強化階段的做題,考生應該逐步實現自發到自覺的轉變,不再是“朦朧式”的做題,漸漸練習著思考與總結,清楚地知道,一道題,考了什么,做完它需要掌握什么——哪些概念、性質、定理、公式,這些定理公式怎么用,需要什么條件,有沒有不能用的時候但命題人挖坑引誘你用,可能出現哪些錯解。做題做透,是少做題卻收益大的有效手段。

這樣的做題習慣也并非一日之功,大家可以慢慢適應,我認為比較有效的培養方式是:對待錯題,用虐待敵人的態度拷問自己。如果一道題,你寫了3行做不下去了,看了解析,一共6行,你一定要問自己,第3行到第4行用了什么方法,依據什么定理,還是考了什么概念,自己為啥沒想到,卡死在第三行,究竟是為什么,自己回憶自己做題時的所思所想,和正解偏差何在,這樣的拷問,有助于迅速補齊自己的弱點。學習就是這樣,把自己弱點變強,整體就強了,會的地方再做100遍,無非是提高一點熟練度,不會的搞懂了,會了,那是顯著提升。當然,如果你發現自己每次都是卡死在計算上,純粹是計算力弱,那還是要多刷題增加熟練度的。

建議同學們,在暑期復習中,逐步鉤織“知識——題型”網絡,做題時逐步由朦朧而清晰,化弱點為強點,必然可以取得顯著地進步。

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